عدد اول

بعد از دوران یونان باستان، نظریهاعداد در سده شانزدهم و هفدهم با زحمات ویت دو مزیریاک ، دوباره مورد توجه قرار گرفت. در قرن هجدهم اویلر و لاگرانژ به قضیه پرداختند و در همین مواقع لوژاندرو گاوس به آن تعبیر علمی بخشیدند. در ۱۸۰۱ گاوس در مقاله Disquisitiones Arithmeticæ حساب نظریه اعداد مدرن را پایه گذاری کرد.چبیشف کران‌هایی برای تعداد اعداد اول بین یک بازه ارائه داد. ریمان اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از یک عدد داده شده تجاوز نمی‌کند. (قضیه عدد اول) و آنالیز مختلط را در تئوریتابع زتای ریمان گنجاند. و فرمول صریح تئوری اعداد اول را از صفرهای آن نتیجه گرفت. تئوری همنهشتی از گاوس شروع شد. او علامت‌گذاری زیر را پیشنهاد کرد:چبیشف در سال ۱۸۴۷ به زبان روسی کاری را در این زمینه منتشر کرد و سره  آن را در فرانسه عمومی کرد. بجای خلاصه کردن کارهای قبلی، لوژاندر قانون تقابل درجهٔ دوم را گذاشت. این قانون از استقراء کشف شد و قبلاً اویلر آن را مطرح کرده بود. لوژاندر در کتاب تئوری اعداد  برای حالت‌های خاص آن را ثابت کرد. جدا از کارهای اویلر و لوژاندر، گاوس این قانون را در سال ۱۷۹۵ کشف کرد و اولین کسی بود که یک اثبات کلی ارائه داد. کوشی ؛ دیریشله او یک مقاله کلاسیک است؛ جکوبی که علامت جکوبی را معرفی کرد؛ لیوویل ؛ زلر ؛ آیزنشتین ؛ کومر و کرونکر نیز در این زمینه کارهایی کرده‌اند. این تئوری تقابل درجه دوم و سوم را شامل می‌شود (گاوس؛ جکوبی که اولین بار قانون تقابل درجه سوم را ثابت کرد ؛ و کومر).نمایش اعداد با صورت درجه دوم دوتایی مدیون گاوس است. کوشی، پوانسو لوبکو بخصوص هرمیت به موضوع چیزهایی افزوده اند. آیزنشتاین در تئوری صورت‌های سه‌گانه پیشتاز است، و تئوری فرم‌ها به طور کلی مدیون او و اچ. اسمیت است. اسمیت دسته بندی کاملی از صورتهای سه گانه انجام داد و تحقیقات گاوس در مورد صورت‌های درجه دوم حقیقی به فرمهای مختلط افزود. جستجوهایی در مورد نمایش اعداد به صورت جمع ۴، ۵، ۶، ۷، ۸ مربع توسط آیزنشتاین ادامه یافت و اسمیت آن را کامل کرد.دیریشله اولین کسی بود که در یک دانشگاه آلمانی در این مورد سخنرانی کرد. او در مورد بسط قضیه اویلر که می گوید: که اویلر و لوژاندر برای 04 3 = n آن را ثابت کردند و دیریشله نشان داد که: z5 y5 x5 +.بین نویسندگان فرانسوی بورل و پوانکاره ذهن قوی داشتند و تانری و استیلجزکرونکر، کومر، شرینگ ، باخمن و ددکیند آلمانی‌های پیشتاز هستند. در اتریش مقاله استلز   و در انگلستان تئوری اعداد ماتیو (قسمت اول، 1892) جزو کارهای عمومی دانشگاهی هستند. جنوچی، سیلوستر و جی. گلیشرr به این تئوری چیزهایی افزوده‌اند .اعداد اول اعداد بسیار زیبا و جذابند و در عین حال معمای حیرت انگیز و سرگردان‌کننده ای را در برابر ریاضی دانان مطرح ساخته اند. تعریف این اعداد کاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن کاملابی‌نظم و فاقد قاعده به نظر می‌آید و هرچه شمار بیشتری از آنها شکارمی‌شوند، کار شکار عدد بعدی دشوارترمی‌شود طی قرنهای متمادی ریاضی دانان در شرق و غرب عالم به جستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته‌اند و با این همه بهترین روشهایی که تا بحال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت‌ترین کامپیوتر های کنونی نیز نمی‌توانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند. بطوریکه اگر چندین میلیون بار به سرعت کامپیوتر های کنونی افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترین عدد اولی که تا به حال شناخته شده افزوده می‌گردد. ریاضی دانان در آرزوی دست یافته به روشی هستند که با استفاده از آن بتوانند با سرعت به یافتن اعداد اول توفیق یابند و یا اگر با عددی هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند که آیا عدد اول است ؟ یک گروه از ریاضی دانان هندی مدعی شده‌اند که در آستانه دستیابی به همان آزمونی هستند که ریاضی دانان قرنها مشتاقانه در آرزویش بوده اند. مانیندرا اگراوال ‪ ,Manindra Agrawalو دانشجویانش نیراج کایال‪Neeraj ‪Kayalو نیتین سکسنا ‪ Nitin Saxenaدر موسسه تکنولوژی کانپور مدعی شده‌اند که در آستانه تکمیل آزمونی هستند که اول بودن یا نبودن هر عدد طبیعی را با سرعت مشخص می‌کند. این آزمون در صورتی که تکمیل شود می‌تواند تبعات و نتایج بسیار گسترده‌ای برای جهان کنونی به بار آورد  در سال ‪ ۲۰۰۱دو تن از دانشجویان او یعنی کایال و سکسنا به یک نکته بسیار حساس و فنی توجه کردند. ابتدا این مساله سبب شد تا گروه سه نفره در آبهای عمیق نظریه اعداد غوطه ور شوند، اما اندک اندک برایشان روشن شد که تنها یک مانع در راه تکمیل روشی جهت آزمودن دقیق و سریع اعداد اول وجود دارد. مانع از این قرار بود که روش آنان تنها در صورتی کار می‌کرد که عدد اول مورد نظر که با ‪ pنمایش داده می‌شود همواره در محدوده خاصی جای داشته باشد که با اعدادی که در آزمون شرکت داده می‌شوند مرتبط باشد. مشخصه ویژه این مانع آن است که عدد " ‪ p-1 " باید یک مقسوم علیه یا بخشیاب بسیار بزرگ باشد. گروه سه نفر ریاضی دانان هندی برای غلبه بر مشکل به هر دری زدند و با بررسی مقالات مختلف بالاخره دریافتند که در سال ‪ ۱۹۸۵یک ریاضی‌دان فرانسوی به نام اتن فووری از دانشگاه پاریس ‪ ۱۱این نکته را به صورت ریاضی اثبات کرده است. به این ترتیب آخرین بخش معما حل شد و آلگوریتم پیشنهادی این سه نفر با موفقیت پا به عرصه گذارد. اما این موفقیت "مشروط" بود. به این معنی که این روش برای اعداد اولی که انسان در حال حاضر می‌توان به سراغ آنها برود از کارآیی چندانی برخوردار نیست. در روایت اولیه روش پیشنهادی، زمان لازم برای محاسبات که متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ‪ ۱۰۱۲ازدیاد پیدا می کرد. در روایتهای بهبود یافته اخیر این روش، سرعت ازدیاد زمان لازم برای محاسبات به ‪ ۱۰۷.۵کاهش یافته اما حتی در این حالت نیز این روش در مقایسه با روش آ پی آر تنها در هنگامی موثر تر خواهد بود که تعداد ارقام عدد اولی که قصد شکار و یافتن آن را داریم در حدود ‪ ۱۰۱۰۰۰باشد درحال حاضر بسیاری از معاملات تجاری و نقل و انتقالات مالی و نیز مبادله اطلاعات محرمانه از طریق شبکه های مخابراتی مانند اینترنت و با بهره گیری از رمز کردن پیامها به انجام می‌رسد. اعداد اول در تنظیم این قبیل رمزها نقشی اساسی بر عهده دارند و از همین رو دستیابی به اعداد اول جدید که دیگران از آن بی‌خبر باشند برای سازندگان این رمزها و نیز مشتریان آنان از اهمیت زیاد برخوردار است. اما اگر روش این محققان هندی تکمیل شود در آن صورت امنیت این قبیل نقل و انتقالات در معرض خطر جدی قرار خواهد گرفت. سابقه قرار گرفتن ریاضی دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پیش باز می گردد. در سال ‪ ۱۸۰۱کارل گائوس از بزرگترین ریاضی دانان اعلام کرد که مساله تشخیص اعداد اول از اعداد غیر اول یکی از مهمترین مسائل حساب به شمار می‌آید. اعداد اول به یک معنا همان نقشی را در سلسله اعداد بازی می‌کنند که اتمها در ساختار بنای کیهان دارند- این اعداد سنگ بنای ناپیدای دیگر اعداد محسوب می‌شوند. یکی از عادی‌ترین راههای شناسایی اعداد اول تقسیم آن به دیگر اعداد است. از طرف دیگر با اندکی تامل روشن می‌شود که اعداد زوج عدد اول نیستند زیرا همگی بر ‪ ۲قابل قسمتند. اعدادی که بتوان جذر آنها را به دست آورد نیز اول نیستند. اما این روشها برای شناسایی اعداد اول بزرگ به کلی بی‌فایده‌اند. به عنوان مثال اگر عدد اولی دارای ‪ ۱۰۰رقم باشد در آن صورت کل عمر باقیمانده از کیهان بر اساس نظریه های جدید کیهانشناسی نیز برای مشخص کردن اول بودن یا نبودن این عدد با این شیوه های متعارف کفایت نمی‌کند. بنابراین ریاضی دانان به سراغ روشهای دیگر رفته‌اند. مهمترین سوال در مورد همه این روشها آن است که با چه سرعتی می‌توانند یک عدد اول را مشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر می شود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابد در آن صورت این روش روش قابل قبولی به شمار آورده می‌شود . به این نوع روشها که زمان به صورت توانی در آنها افزوده می‌شود "روشهای توانی" می‌گویندروشهای دیگر که زمان در آنها با سرعت بیشتری افزایش می‌یابد روشهای غیرتوانی نام دارند. به عنوان مثال روش تقسیم معمولی یک روش غیرتوانی برای یافتن اعداد اول است. در این روش زمان لازم برای تعیین اول بودن یک عدد با ‪ dرقم، برابر با ‪ /۱۰d/2این نوع روشها بسیار نامناسبند.   اعداد اول یکی از اساسی ترین چیز ها در ریاضیات هستند. آنها پس از قرن ها مطالعه هنوز دارای رموز بسیاری اند. ساختار مجموعه اعداد اول هنوز به درستی شناخته شده نیست. توضیح چگونگی توزیع آنها در قلب ریاضیات قرار دارد و نقش های مهمی برای مثال در زمینه رمز گشایی دارند. برای مطالعه در مورد اعداد اول محققین چیزی که به نام لنز ریاضیاتی معروف است را توسعه داده اند که به آنها اجازه می دهد تا در منظره های خاصی از اعداد اول فوکوس کنند.      به تازگی دو ریاضیدان به نام های جان فریدلندر از دانشگاه تورونتو و هنریک ایوانیچ از دانشگاه روتگرز نیوجرسی دنیای ریاضیات را با خبر ساختن لنز جدیدی برای پالودن هرچه بیشتر اعداد اول متحیر ساختند. کار آنها مخصوصا از این لحاظ شگفت انگیز است که مسئله مهمی در ریاضیات که پیشرفتی در آن در صد سال اخیر رخ نداده را حل می کند.     اهمیت کار فریدلندر و ایوانیچ را در تاریخچه آن می توان دید. اقلیدس اولین کسی بود که نشان داد بینهایت عدد اول در بین اعداد صحیح وجود دارد. مدت ها بعد در سال 1837 گوستاو لجن دیریکله نشان داد که اگر aو dنسبت به هم اول باشند در تصاعد حسابی a, a+d, a+2d, a+3d,…بی نهایت عدد اول وجود دارد.با توجه به کارهای دیریکله دو سؤال به ذهن می رسد:"در چه دنباله های دیگری از اعداد می توان بی نهایت عدد اول یافت؟" کسی می تواند چند وقت به چند وقت ظاهر شدن  اعداد اول در این دنباله ها را تعیین کند؟"      تکنیک هایی که در دهه 1890 اختراع شد به ریاضیدانان اجازه می داد تا تقریب خوبی در مورد چند وقت به چند وقت ظاهر شدن اعداد اول در اعداد صحیح و همچنین دنباله هایی که دیریکله بررسی نمود بدست آورند. اعداد طبیعی به چند عدد نخست مجموعه اعداد اولبخش‌پذیری بر 2: شرط لازم برای آن که یک عدد بر 2 بخش‌پذیر باشد، آن است که رقم یکان آن زوج باشد مانند 30 ، 1996 ، 204.بخش‌پذیری بر 3: شرط لازم برای آن که عددی بر 3 بخش‌پذیر باشد آن است که مجموع ارقام آن عدد بر 3 بخش پذیر باشد. مانند 192 (زیرا مجموع ارقام آنها برابر 12 می‌باشد).بخش‌پذیری بر 5: شرط لازم برای آن که یک عدد بر 5 بخش‌پذیر باشد آن است که رقم یکان آن صفر یا 5 باشد، مانند 205 ، 410.بخش‌پذیری بر 7: عددی بر 7 بخش‌پذیر است که اگر رقم اول سمت چپ آن را در 3 ضرب کرده و با رقم دوم سمت چپ جمع کنیم وحاصل را بر 7 تقسیم کنیم، سپس باقیمانده تقسیم را دوباره در 2 ضرب کرده و با رقم سوم از سمت چپ جمع و حاصل را بر 7 تقسیم کنیم و همین عملها را تا آخرین رقم ادامه دهیم، در پایان باقیمانده بر 7 تقسیم بر 7 برابر با صفر باشد.بخش‌پذیری بر 11: عددی بر 11 بخش‌پذیر است که اختلاف مجموع ارقام مرتبه زوج (یکان ، صدگان ، ده هزارگان و ... ) با مجموع ارقام مرتبه فرد (دهگان ، هزارگان ، صدگان و ...) بر 11 بخش‌پذیر باشد.در حالت mعددی مانند m اول است اگر و تنها اگر m بر هیچ کدام از اعداد اول تابیشتر از جذر m بخش‌پذیر نباشد. برای تجزیه یک عدد به حاصلضرب عاملهای اول ، آن را به کوچکترین عدد اولی که بر آن بخش‌پذیر باشد تقسیم می‌کنیم و خارج قسمت را نیز بر کوچکترین عدد اولی که بر آن بخش پذیر باشد تقسیم می‌کنیم و این کار را تاجایی ادامه می‌دهیم که خارج قسمت یک باشد. در این صورت حاصلضرب مقسوم علیه‌ها ، حاصلضرب عاملهای اول عدد مورد نظر خواهد بود. مانند 45 = 22 + 32کوچکترین مضرب مشترک دو عددکوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b عبارت است از کوچکترین عددی که بر هم بر a و هم بر b بخش‌پذیر باشد. برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک دو عدد b,a (ک.م.م) که آن را به صورت a,b نمایش می‌دهیم، ابتدا دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه می‌کنیم. سپس کوچکترین مضرب مشترک دو عدد عبارت است از حاصلضرب عاملهای مشترک و غیر مشترک با توان بیشتر که در تجزیه دو عدد موجود است. به عنوان مثال ک.م.م دو عدد 36 و45 برابر است با 22X32X5 یعنی 180 خواهد بود.بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عددبزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b عبارت است از بزرگترین عددی که هم a و هم b بر آن بخش‌پذیر باشد. برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد b,a را به حاصلضرب (ب.م.م) که آن را به صورت (a,b) نمایش می‌دهیم؛ ابتدا دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه می‌کنیم، سپس بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد عبارت است از حاصلضرب عاملهای مشترک دو عدد a و b با توان بیشتر که در تجزیه دو عدد موجود است. به عنوان مثال ب.م.م دو عدد 45 و 36 برابر با 32 یعنی 9 می‌باشد.دو عدد متبایندو عدد را نسبت به هم اول یا متباین گویند هر گاه ب.م.م آن دو عدد برابر با 1 باشد. برای مثال دو عدد 8 و 9 نسبت به هم اول هستند، زیرا 1=(9 و 8). بزرگترین مقسوم علیه مشترک n عدد نیز به همین صورت تعریف می‌شود. باید توجه داشت که در این حالت منظور از عاملهای مشترک ، اعداد اولی هستند که در تجزیه تمامی n عدد مشترک می‌باشد. برای هر دو عدد طبیعی a,b تساوی (a ,b).a,b=ab برقرار می‌باشد.تعداد مقسوم علیه های مثبت یک عدددر حالت کلی اگر عدد تجزیه به عوامل a به صورت P2α2X PnαnXP1α1 باشد، که در آن P1 ، Pn ، ... ، P2 اعداد اول متمایز می باشند، برای نوشتن یک مقسوم علیه از a می‌توانیم از عاملهای P1 به تعداد 0 و1 و......و α1 و از عاملهای P2 به تعداد 0 و 1و......و α2 و.... و بالاخره از عاملهای P1 به تعداد 0 و 1 و ... αn انتخاب کنیم که طبق اصل ضرب این عدد به تعداد (α1+1)X(α2+1)….(αn+1) مقسوم علیه خواهد داشت.اصل ضرباگر از A1 به m1 ، A2 مسیر ، از A2 به m2 ، A3 مسیر و ... و از An به mn ، An+1 مسیر مستقل موجود باشد، آنگاه برای اینکه از A1 به An+1 برسیم، m1Xm2X...Xmn مسیر وجود خواهد داشت.جذرجذر یک عدد یعنی پیدا کردن ریشه آن عدد است. جذر nm برابر است با ریشه دومبه عدد صحیح بزرگتر از یک عدد اول گفته می‌شود اگر تنها مقسوم علیه (فاکتور) آن یک و خود آن عدد باشد. برای مثال مقسوم علیه‌های اول عدد ۱۰ اعداد ۲ و ۵ هستند. و شش عدد اول نخست ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱و ۱۳ هستند.قضیه اساسی حساب (Fundamantal Theorem of Arithmethic) نشان می‌دهد که اعداد اول قالب‌هایی منحصر به فرد برای اعداد صحیح مثبت ایجاد می‌کنند: هر عدد صحیح مثبت از حاصل ضرب یک سری و فقط از اعداد اول ایجاد می‌شود (ترتیب مقسوم علیه‌ها را در نظر نمی‌گیریم.) این کلید نشان دهنده آن است که مقسوم علیه‌های اول هر عدد می‌توانند نماینده آن عدد باشند.یونانیان باستان در قرن ۳ قبل از میلاد ثابت کردند که بینهایت عدد اول وجود دارد که به صورت نامنظم در بین اعداد صحیح پخش شده‌اند. از طرفی در قرن نوزدهم نشان داده شد که تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی عدد n به عدد n/logn میل می‌کند (وقتی n بسیار بزرگ شود). پس n/logn حدس خوبی برای nامین عدد اول است.غربال اراتستن(Sieve of Eratosthenes) هنوز هم مناسب ترین راه برای یافتن اعداد اول کوچک(مثلاً کمتر از ۱۰۰۰۰۰) است.گرچه بیشتر اعداد اول بزرگ با قسمت‌های خاصی ازقضیه لاگرانژ(Lagrange's Theorem) یافت می‌شوندبزرگترین اعداد اول معمولاً از اعداد مرسن (Mersenne prime) بوده‌اند. چرا مرسن؟ زیرا روشی که اول بودن عدد بزرگ N در آن بررسی می‌شود به فاکتورگیری از N+۱ و N-۱ بستگی دارد و برای اعداد مرسن فاکتورگیری از N+۱ کار ساده‌ای است زیرا این عدد توانی از ۲ استده عدد اول مرسن نخست شناخته شدهاعداد اول مرسن به شکل ۲p-۱ هستند. آنها ساده‌ترین اعداد برای بررسی اول بودن آنها در رایانه‌های دودویی هستند و درنتیجه معمولاً بزرگترین اعداد اول شناخته شده از این نوع هستند. GIMPS دائماً در حال کشف این هیولاهاست.---ردیف------عدد اول------تعداد ارقام------تاریخ کشف---۱۲۳۲۵۸۲۶۵۷-۱۹۸۰۸۳۵۸۲۰۰۶۲۲۳۰۴۰۲۴۵۷-۱۹۱۵۲۰۵۲۲۰۰۵۳۲۲۵۹۶۴۹۵۱-۱۷۸۱۶۲۳۰۲۰۰۵۴۲۲۴۰۳۶۵۸۳-۱۷۲۳۵۷۳۳۲۰۰۴۵۲۲۰۹۹۶۰۱۱-۱۶۳۲۰۴۳۰۲۰۰۳۶۲۱۳۴۶۶۹۱۷-۱۴۰۵۳۹۴۶۲۰۰۱۷۲۶۹۷۲۵۹۳-۱۲۰۹۸۹۶۰۱۹۹۹۸۲۳۰۲۱۳۷۷-۱۹۰۹۵۲۶۱۹۹۸۹۲۲۹۷۶۲۲۱-۱۸۹۵۹۳۲۱۹۹۷۱۰۲۱۳۹۸۲۶۹-۱۴۲۰۹۲۱۱۹۹۶ده عدد اول دوقلوی نخست شناخته شدهاعداد اول دو قلو (Twin primes) اعداد اول به فرم p و p+۲ هستند یعنی تفاضل آنها ۲ است. حدسی وجود دارد که بی‌نهایت عدد اول دو قلو وجود دارد، اما تا به حال اثبات نشده. چون یافتن اعداد اول دوقلو در اصل پیدا کردن دو عدد اول است، بزرگترین اعداد اول دوقلوی شناخته شده نسبت به بزرگترین اعداد اول شناخته شده از گونه‌های دیگر کوچکتر است.---ردیف------عدد اول------تعداد ارقام------تاریخ کشف---۱۲۰۰۳۶۶۳۶۱۳٬۲۱۹۵۰۰۰+۱۵۸۷۱۱۲۰۰۷۲۲۰۰۳۶۶۳۶۱۳٬۲۱۹۵۰۰۰-۱۵۸۷۱۱۲۰۰۷۳۱۹۴۷۷۲۱۰۶۰۷۴۳۱۵٬۲۱۷۱۹۶۰+۱۵۱۷۸۰۲۰۰۷۴۱۹۴۷۷۲۱۰۶۰۷۴۳۱۵٬۲۱۷۱۹۶۰-۱۵۱۷۸۰۲۰۰۷۵۱۰۰۳۱۴۵۱۲۵۴۴۰۱۵٬۲۱۷۱۹۶۰+۱۵۱۷۸۰۲۰۰۶۶۱۰۰۳۱۴۵۱۲۵۴۴۰۱۵٬۲۱۷۱۹۶۰-۱۵۱۷۸۰۲۰۰۶۷۱۶۸۶۹۹۸۷۳۳۹۹۷۵٬۲۱۷۱۹۶۰+۱۵۱۷۸۰۲۰۰۵۸۱۶۸۶۹۹۸۷۳۳۹۹۷۵٬۲۱۷۱۹۶۰-۱۵۱۷۷۹۲۰۰۵۹۳۳۲۱۸۹۲۵٬۲۱۶۹۶۹۰+۱۵۱۰۹۰۲۰۰۲۱۰۳۳۲۱۸۹۲۵٬۲۱۶۹۶۹۰-۱۵۱۰۹۰۲۰۰۲ده عدد اول سوفی جرمین شناخته شدهعدد اول سوفی جرمین (Sophie Germain Primes) عدد اول فرد pای است که۲p+۱ هم اول باشد. این نام گذاری از اسم خانم سوفی جرمین است که قسمت اول آخرین قضیه فرما(Fermat's Last Theorem) (xn+yn=zn هیچ جواب ناصفری برای اعداد صحیح بزرگ‌تر از ۲ ندارد) را برای توانهای تقسیم پذیر بر این گونه اعداد اول اثبات کرد.آخرین قضیه فرما پس از او توسط اندرو ویلز (Andrew Wiles) به طور کامل اثبات شد.---ردیف------عدد اول------تعداد ارقام------تاریخ کشف---۱۴۸۰۴۷۳۰۵۷۲۵٬۲۱۷۲۴۰۳-۱۵۱۹۱۰۲۰۰۷۲۱۳۷۲۱۱۹۴۱۲۹۲۱۹۵٬۲۱۷۱۹۶۰-۱۵۱۷۸۰۲۰۰۶۳۷۰۶۸۵۵۵٬۲۱۲۱۳۰۱-۱۳۶۵۲۳۲۰۰۵۴۲۵۴۰۰۴۱۱۸۵٬۲۱۱۴۷۲۹-۱۳۴۵۴۷۲۰۰۳۵۱۱۲۴۰۴۴۲۹۲۳۲۵٬۲۱۰۷۹۹۹-۱۳۲۵۲۳۲۰۰۶۶۱۱۲۸۸۶۰۳۲۲۴۵٬۲۱۰۸۰۰۰-۱۳۲۵۲۳۲۰۰۶۷۱۸۹۱۲۸۷۹٬۲۹۸۳۹۵-۱۲۹۶۲۸۲۰۰۲۸۱۰۴۹۵۷۴۰۰۸۱٬۲۸۳۱۲۵-۱۲۵۰۳۴۲۰۰۶۹۶۱۰۷۸۱۵۵٬۲۸۲۰۰۲-۱۲۴۶۹۳۲۰۰۶۱۰۱۲۱۳۸۲۲۳۸۹٬۲۸۱۱۳۱-۱۲۴۴۳۲۲۰۰۲ده عدد فاکتوریل نخست شناخته شدهاعداد اول به فرم n!±۱ را اعداد اول فاکتوریل (factorial primes) گویند.هر عدد طبیعی مخالف یک که اول نباشد مرکب یا تجزیه پذیر می گوییم.·        لازم به ذکر است که عدد یک نه اول و نه مرکب است و تنها عدد اول زوج عدد 2 است.اگر n عددی مرکب باشد می توان گفت:·        نتیجه: اگر P عددی اول . a و b اعدادی طبیعی باشند، در این صورت: برهان:چون P عددی اول است بنابراین تنها دو مقسوم علیه متمایز دارد. از اینکه P=ab و aمنبع:http://mathematical.blogfa.com